REDTERRAQUEA

domingo, 9 de junio de 2019

! ay ¡
La gente no sabe lo que hay ahí,
ni allí, pero allá
se halla lo que quizá nunca haya sabido.

lunes, 20 de mayo de 2019

FUNCIONES DERIVADAS E INTEGRALES.

Recordamos que una función y= f(x) es una relación en la que a cada valor de “x” le corresponde uno solo de ”y”, y la pendiente es la tasa de variación de la “y” respecto a la variación de “x”.

La derivada de una función matemática f(x) es otra función g(x), en la que a cada valor de “x” le corresponde un valor de “y” que es la pendiente de la función f(x) en ese punto.

Por ejemplo, La función “f(x)=6” es constante para todo valor “x” entonces en todos sus puntos tiene pendiente cero, entonces la función derivada es Y=g(x)=0,

“f(x)=Y=5x” para todo “x” tiene pendiente=5, porque varía 5 por cada variación unitaria de “x” entonces la derivada es g(x)= Y=5;

Y=6X²,veamos,

La pendiente de una función en un tramo desde x₀ hasta x₁ es m=∆y/∆x= (y₁-y₀) /(x₁-x₀) o sea lo que varía la “y” dividido entre lo que varía la “x”

Veamos.

Para x=3 ,

Para x=4,

La pendiente entre x= 4 y x=3 es (96-54)/ (4-3) es igual a 42

Pero la pendiente en un punto es la variación instantánea ahí o sea lo que varía la Y, con una variación infinitesimal de x, o sea dy/dx o sea el límite de

[f(x+a)-f(x)]/ [(x+a)-x] cuando “a” tiende a cero.

Hagamos el tramo más pequeño y veamos.

La pendiente entre x=3,5 y x=3 es (6

3,5²-6

3²)/0,5 =(73,5-54)/0,5=19,5/0,5=39

Entre 3,3 Y 3 es=37,8

Entre x= 3,1 y x=3 es 6

3,1²-6

3²= (57,66-54)/0,1=3,66/0,1=36,6

Entre 3,05 y 3 es 6

3,05²-6

3²= (55,82-54)/0,05=1,82/0,05=36,4

Entre 3,01 y 3 es 6

3,01²-6

3²= (54,36-54)/0.01=0,36/0,01=36

Entre 3,001 y 3 es 6

3,001-6

3²= (54,036-54)/0,001=36

O sea que cuando hacemos variaciones muy pequeñas de x, la pendiente de la curva f(x)= 6

²cercanas a x=3 se va haciendo igual a 36, que es el valor de la derivada g(x)=12

en ese punto.

La función es y=6x^2, la derivada es y=12x.

Ahora supongamos que queremos calcular el área que hay debajo de una curva de un gráfico, entonces dividimos el área en barras que son rectángulos de ancho muy pequeño (∆x) y de altura el valor de f(x) en el rectángulo, el área será aproximadamente la sumatoria de las áreas de todos los rectángulos entre los valores de x que se quieren calcular. Cuanto más estrechos sean los rectángulos más exacta será el área.

A= ∆x [f(x₀)+f(x₁) +f(x₂) + f(x₃) + f(x₄)………….f(x_n)]

A=∑ f(x)∆x desde x=0 hasta x=n

Cuando ∆x tiende a cero o sea el ancho de los rectángulos es un infinitesimal “dx” el área será exacta y se llama integral de la función f(x) desde x=0 hasta x=n

“A=∫f(x) dx” desde x=0 hasta x=n

Por ejemplo la función y=f(x)=6, el área de esta función desde x=0 hasta x=8 es 6

8=48

Para el área desde x=0 hasta x=4 es 24

Entonces la integral de y=f(x)=6 es y=f(x)=6x

Verificamos que f(4)=24 y f(8)=48

Aquí nos damos cuenta de algo:

La función f(x)=6x, la derivada es f(x)=6

La integral de f(x)=6 es f(x)=6x

O sea la integral y la derivada son la contraria una de la otra.

Si la derivada de A es B

La integral de B es A

Para la función f(x)= 6x²si calculamos el área de esa curva entre x=3 y x=4

Calcularemos la integral

6x²dx y esto nos dará la función f(x)=2x³evaluada en 4 menos la función evaluada en 3 o sea 128-54=74

6x²es la derivada de 2x³y

2x³es la integral de 6x²

Para x=4 la derivada es 96 y la pendiente de la curva 2x³en 4 es, veamos, calculamos un ∆y/∆x muy pequeño para esta función: f(4.01)-f(4) dividido entre 0,01 es 128,96-128 dividido entre 0,01 da también 96

SENOS Y COSENOS:

Imaginemos un círculo de diámetro igual a 2, si vamos girando una línea que va desde el centro hasta la circunferencia (la circunferencia es el perímetro del círculo). El triángulo que se va formando al girar la línea un ángulo con la horizontal que va desde 0⁰ hasta 360⁰, este triángulo tiene un lado opuesto al ángulo que es el seno y uno adyacente que es el coseno y una hipotenusa que es la línea que vamos girando y que tiene el tamaño del radio que es la mitad del diámetro.

Entonces, vemos que para un ángulo de 90⁰el seno es del tamaño del radio o sea vale 1 y el coseno vale cero, para un ángulo cero el seno vale cero y el coseno vale 1.

Si medimos la longitud de cualquier circunferencia, vemos que siempre mide 3,1416….. veces el diámetro, de ahí salió el número

“pi”. O sea que la circunferencia siempre mide

d (

(dos

veces el radio)

Un ángulo también se puede medir usando en vez de grados “r y

”

Entonces el ángulo que va de 0⁰ 360⁰también podemos decir que va de “0” a “2

y se sobreentiende que se refiere 0 ó 2

veces el radio o “radianes” entonces 90⁰ equivale a

, 45⁰equivale a

,180⁰ equivale a

etc.

Y esto es válido para un círculo de cualquier radio, y siempre el seno va a ser el cateto opuesto sobre la hipotenusa y el coseno el cateto adyacente sobre la hipotenusa. Cuando el círculo tiene un radio diferente de 1 como el círculo anterior, el seno o sea el cateto opuesto del triángulo que se va formando también será diferente pero la relación cateto opuesto dividido entre la hipotenusa o sea el seno siempre valdrá igual para ese ángulo formado, lo mismo pasa con el coseno.

Podemos ver que la función coseno f(x)=cos(x) es la derivada de la función seno g(x)=sen(x) y seno es la integral de coseno.

Autor: Redterraquea 2019.

domingo, 19 de mayo de 2019

COMO LOS ANTÍGUOS HUMANOS MOVÍAN LOS GRANDES OBJETOS.

Los antiguos humanos no tenían grúas para mover los grandes objetos pero tenían grandes conocimientos de la teoría del centro de gravedad

El CENTRO DE GRAVEDAD de un objeto físico rígido es el punto donde actúa la fuerza de gravedad.

En un objeto rígido el centro de gravedad coincide con el centro geométrico siempre que su composición sea homogénea. Si el objeto no tiene una forma geométrica muy clara hay que asimilarlo a una o dividirlo en partes que sean más o menos figuras geométricas. Y determinar el c.g. de cada parte y luego el del conjunto.

Si su composición no es homogénea hay que dividirlo en regiones homogénea y cada una de ellas tendrá su centro de gravedad y luego se calcula el c.g. del conjunto.

El centro de gravedad puede estar fuera del objeto, como por ejemplo en una rueda.

En un cuerpo formado por varias partes que se pueden mover entre sí, cada una de las partes tiene su propio centro de gravedad y el c. g. del conjunto varia constantemente si las partes se mueven entre sí.

En los objetos blandos como sacos llenos de arena, botellas medio llenas de líquidos etc. todas las partículas se mueven entre si y el centro de gravedad es muy inestable.

Si un objeto rígido homogéneo está totalmente apoyado se mantiene estable, pero si se apoya solo una parte de él, cada partícula del objeto que no está apoyada quiere caer por gravedad, haciendo girar el objeto alrededor del punto de apoyo. Si el apoyo está en el centro de gravedad todas estas partículas se compensan y el objeto no gira y se mantiene en equilibrio.

Si el apoyo no está en el centro de gravedad entonces el objeto gira alrededor del punto de apoyo hacia el lado que tenga más partículas y hará perder el equilibrio al objeto que caerá.

Los objetos no rígidos cambian constantemente la posición de sus partículas entre si y por lo tanto cambia continuamente el centro de gravedad, por ejemplo una persona o animal no es un objeto rígido y al mover los brazos cabeza, piernas, etc. cambia a voluntad la posición del centro de gravedad con grandes ventajas a su favor.

Como la fuerza de gravedad siempre es vertical, para los efectos del cálculo del centro de gravedad solo importan las distancias horizontales de estos entre sí.

En los objetos rígidos pero no homogéneos o sea que todas sus partículas no tiene el mismo peso, el centro de gravedad es tan difícil de calcular como complicada sea la distribución de las partículas, pues habrá que hacer un promedio ponderado de todas ellas, o sea: La distancia horizontal desde un punto cualquiera de referencia hasta el centro de gravedad del objeto será la sumatoria de las distancias horizontales de cada partícula a ese punto de referencia multiplicada por el peso de la partícula y todo esa sumatoria dividida entre el peso total del objeto.

Si colgamos el objeto de cualquier punto, siempre el objeto girará alrededor de ese punto para obligar al centro de gravedad a colocarse en la misma vertical que él. De esta manera el mismo objeto nos dice donde tiene el c. g. Ahora lo colgamos de otro punto y nos definirá otra línea, la intersección de las dos líneas define el c. de g. Hay que tener la capacidad de visualizarlo en el espacio dentro del objeto

Para visualizar el centro de gravedad en tres dimensiones, hay que ser capaz de imaginar o visualizar el objeto en tres dimensiones.

LA PALANCA es un ejemplo de utilización provechosa del conocimiento del centro de gravedad.

Un objeto rígido que es una vara muy larga que tiene su centro de gravedad en el centro de su longitud, se apoya lejos de su centro de gravedad y cerca de un objeto pesado que se quiere mover y se introduce lo más que se pueda debajo de este, del otro extremo alejado del apoyo una persona ejerce fuerza hacia la dirección de la gravedad.

Este conjunto se convierte en un objeto no rígido y el nuevo centro de gravedad será el peso del objeto que se quiere mover multiplicado por la distancia horizontal de su centro de gravedad hasta un punto de referencia, más el peso de la vara por la distancia de su c. g. al punto de referencia más el peso de la persona que hace fuerza por distancia de ella al punto de referencia y todo esa suma, dividida entre el peso total de las tres cosas. La distancia tan grande del apoyo a la persona que hace fuerza y tan pequeña hasta el objeto pesado hacen que el centro de gravedad del conjunto se mueva hacia el lado donde está la persona y facilite el giro de la vara y el movimiento del objeto pesado.

Manipulando los centros de gravedad se pueden hacer cosas que parecen magia, como el gurú que parece levitar.

Entonces, Si un objeto rígido homogéneo muy pesado es sostenido en un punto desde donde la distancia horizontal de ese punto hasta el centro de gravedad es cero, se mantendrá en equilibrio