! ay ¡
La gente no sabe lo que hay ahí,
ni allí, pero allá
se halla lo que quizá nunca haya sabido.
REDTERRAQUEA
prueba
CODIGO AdSence 537464
MIS VISITAS:
REDTERRAQUEA
codigo AdSence 537464
Bienvenido a mi blog
Vistas de página en total
domingo, 9 de junio de 2019
lunes, 20 de mayo de 2019
FUNCIONES DERIVADAS E INTEGRALES.
Recordamos que una función y= f(x) es una relación en la que
a cada valor de “x” le corresponde uno solo de ”y”, y la pendiente es la tasa
de variación de la “y” respecto a la variación de “x”.
La derivada de una función matemática f(x) es otra función
g(x), en la que a cada valor de “x” le corresponde un valor de “y” que es la
pendiente de la función f(x) en ese punto.
Por ejemplo, La función “f(x)=6” es constante para todo valor “x” entonces en todos sus puntos tiene pendiente cero, entonces la función derivada es Y=g(x)=0,
“f(x)=Y=5x”
para todo “x” tiene pendiente=5, porque varía 5 por cada variación unitaria de
“x” entonces la derivada es g(x)= Y=5;
Y=6X2
, veamos,
La pendiente
de una función en un tramo desde x0
hasta x1 es m=∆y/∆x= (y1-y0) /(x1-x0)
o sea lo que varía la “y” dividido entre
lo que varía la “x”
Veamos.
Para x=3 ,
Para x=4,
La pendiente
entre x= 4 y x=3 es
(96-54)/ (4-3) es igual a 42
Pero la
pendiente en un punto es la variación instantánea ahí o sea lo que varía la Y,
con una variación infinitesimal de x, o sea dy/dx o sea el límite de
[f(x+a)-f(x)]/ [(x+a)-x] cuando “a” tiende a
cero.
Hagamos el
tramo más pequeño y veamos.
La pendiente
entre x=3,5 y x=3 es (6 3,52-6 32)/0,5 =(73,5-54)/0,5=19,5/0,5=39
Entre 3,3 Y
3 es=37,8
Entre x= 3,1
y x=3 es 6 3,12-6 32= (57,66-54)/0,1=3,66/0,1=36,6
Entre 3,05 y
3 es 6 3,052-6 32= (55,82-54)/0,05=1,82/0,05=36,4
Entre 3,01 y
3 es 6 3,012-6 32= (54,36-54)/0.01=0,36/0,01=36
Entre 3,001
y 3 es 6 3,001-6 32=
(54,036-54)/0,001=36
O sea que cuando hacemos variaciones muy
pequeñas de x, la pendiente de la
curva f(x)= 6 2 cercanas a x=3 se va haciendo igual a 36, que es el valor de la derivada g(x)=12 en ese punto.
La función
es y=6x2, la derivada es
y=12x.
Ahora
supongamos que queremos calcular el área que hay debajo de una curva de un
gráfico, entonces dividimos el área en barras que son rectángulos de ancho muy
pequeño (∆x) y de altura el valor de f(x) en el rectángulo, el área será aproximadamente la sumatoria de
las áreas de todos los rectángulos entre los valores de x que se quieren calcular.
Cuanto más estrechos sean los rectángulos más exacta será el área.
A= ∆x [f(x0) + f(x1)
+f(x2) + f(x3) + f(x4)………….f(xn)]
Ó
A=∑ f(x)∆x desde x=0 hasta x=n
Cuando ∆x tiende a cero o sea el ancho de los
rectángulos es un infinitesimal “dx” el
área será exacta y se llama integral de la función f(x) desde x=0 hasta x=n
“A=∫f(x) dx”
desde x=0 hasta x=n
Por ejemplo
la función y=f(x)=6, el área de esta función desde x=0 hasta x=8 es 6 8=48
Para el área
desde x=0 hasta x=4 es 24
Entonces la
integral de y=f(x)=6 es y=f(x)=6x
Verificamos
que f(4)=24 y f(8)=48
Aquí nos
damos cuenta de algo:
La función f(x)=6x,
la derivada es f(x)=6
La integral
de f(x)=6 es f(x)=6x
O sea la
integral y la derivada son la contraria una de la otra.
Si la
derivada de A es B
La integral
de B es A
Para la
función f(x)= 6x2 si calculamos el área de esa curva entre x=3 y x=4
Calcularemos
la integral6x2dx y esto
nos dará la función f(x)=2x3 evaluada en 4 menos la función evaluada
en 3 o sea 128-54=74
6x2 es la
derivada de 2x3 y
2x3 es la integral de 6x2
Para x=4 la derivada es
96 y la pendiente de la curva 2x3 en
4 es, veamos, calculamos un ∆y/∆x muy pequeño para esta función: f(4.01)-f(4) dividido entre
0,01 es 128,96-128 dividido entre 0,01 da también 96
SENOS Y
COSENOS:
Imaginemos
un círculo de diámetro igual a 2, si vamos girando una línea que va desde el
centro hasta la circunferencia (la circunferencia es el perímetro del círculo). El triángulo que se va formando al girar la
línea un ángulo con la horizontal que va desde 00 hasta 3600,
este triángulo tiene un lado opuesto al ángulo que es el seno y uno adyacente
que es el coseno y una hipotenusa que es
la línea que vamos girando y que tiene el tamaño del radio que es la mitad del
diámetro.
Entonces,
vemos que para un ángulo de 900 el seno es del tamaño del radio o
sea vale 1 y el coseno vale cero, para
un ángulo cero el seno vale cero y el coseno vale 1.
Si medimos
la longitud de cualquier circunferencia, vemos que siempre mide 3,1416….. veces
el diámetro, de ahí salió el número “pi”. O sea que la
circunferencia siempre mide d ( o (dos veces el radio)
Un ángulo
también se puede medir usando en vez de grados “r y”
Entonces el ángulo que
va de 00 3600 también podemos decir que va de “0” a “2 y se sobreentiende que se
refiere 0 ó 2 veces el radio o
“radianes” entonces 900 equivale a , 450 equivale
a ,1800 equivale
a etc.
Y esto es válido para
un círculo de cualquier radio, y siempre el seno va a ser el cateto opuesto
sobre la hipotenusa y el coseno el cateto adyacente sobre la hipotenusa. Cuando
el círculo tiene un radio diferente de 1
como el círculo anterior, el seno o sea el cateto opuesto del triángulo que se
va formando también será diferente pero la relación cateto opuesto dividido
entre la hipotenusa o sea el seno siempre valdrá igual para ese ángulo formado,
lo mismo pasa con el coseno.
Podemos ver que la función
coseno f(x)=cos(x) es la derivada de la función seno g(x)=sen(x) y seno es la
integral de coseno.
Autor: Redterraquea 2019.
domingo, 19 de mayo de 2019
COMO LOS ANTÍGUOS
HUMANOS MOVÍAN LOS GRANDES OBJETOS.
Los antiguos humanos no tenían grúas para mover los grandes objetos pero tenían grandes conocimientos de la teoría del centro de gravedad
El CENTRO DE GRAVEDAD de un objeto físico rígido es el punto donde actúa la fuerza de gravedad.
En un objeto rígido el centro de gravedad coincide con el centro geométrico siempre que su composición sea homogénea. Si el objeto no tiene una forma geométrica muy clara hay que asimilarlo a una o dividirlo en partes que sean más o menos figuras geométricas. Y determinar el c.g. de cada parte y luego el del conjunto.
Si su composición no es homogénea hay que dividirlo en regiones homogénea y cada una de ellas tendrá su centro de gravedad y luego se calcula el c.g. del conjunto.
El centro de gravedad puede estar fuera del objeto, como por ejemplo en una rueda.
En un cuerpo formado por varias partes que se pueden mover
entre sí, cada una de las partes tiene su propio centro de gravedad y el c. g.
del conjunto varia constantemente si las partes se mueven entre sí.
En los objetos blandos como sacos llenos de arena, botellas
medio llenas de líquidos etc. todas las partículas se mueven entre si y el
centro de gravedad es muy inestable.
Si un objeto rígido homogéneo está totalmente apoyado se
mantiene estable, pero si se apoya solo una parte de él, cada partícula del
objeto que no está apoyada quiere caer por gravedad, haciendo girar el objeto
alrededor del punto de apoyo. Si el apoyo está en el centro de gravedad todas estas partículas
se compensan y el objeto no gira y se
mantiene en equilibrio.
Si el apoyo no está en el centro de gravedad entonces el
objeto gira alrededor del punto de apoyo hacia el lado que tenga más partículas
y hará perder el equilibrio al objeto que caerá.
Los objetos no rígidos cambian constantemente la posición de sus partículas entre si y por lo tanto cambia continuamente el centro de gravedad, por ejemplo una persona o animal no es un objeto rígido y al mover los brazos cabeza, piernas, etc. cambia a voluntad la posición del centro de gravedad con grandes ventajas a su favor.
Como la fuerza de gravedad siempre es vertical, para los
efectos del cálculo del centro de gravedad solo importan las distancias
horizontales de estos entre sí.
En los objetos rígidos pero no homogéneos o sea que todas
sus partículas no tiene el mismo peso, el centro de gravedad es tan difícil de
calcular como complicada sea la distribución de las partículas, pues habrá que
hacer un promedio ponderado de todas ellas, o sea: La distancia horizontal
desde un punto cualquiera de referencia hasta el centro de gravedad del objeto
será la sumatoria de las distancias horizontales de cada partícula a ese punto
de referencia multiplicada por el peso
de la partícula y todo esa sumatoria dividida entre el peso total del
objeto.
Si colgamos el objeto de cualquier punto, siempre el objeto
girará alrededor de ese punto para obligar al centro de gravedad a colocarse en
la misma vertical que él. De esta manera el mismo objeto nos dice donde tiene
el c. g. Ahora lo colgamos de otro punto y nos definirá otra línea, la
intersección de las dos líneas define el c. de g. Hay que tener la capacidad de visualizarlo en
el espacio dentro del objeto
Para visualizar el centro de gravedad en tres dimensiones,
hay que ser capaz de imaginar o visualizar el objeto en tres dimensiones.
LA PALANCA es un ejemplo de utilización provechosa del conocimiento del centro de gravedad.
Un objeto rígido que es una vara muy larga que tiene su
centro de gravedad en el centro de su longitud, se apoya lejos de su centro de
gravedad y cerca de un objeto pesado que se quiere mover y se introduce lo más
que se pueda debajo de este, del otro extremo alejado del apoyo una persona
ejerce fuerza hacia la dirección de la gravedad.
Este conjunto se convierte en un objeto no rígido y el nuevo centro de gravedad será el peso del objeto que se quiere mover multiplicado por la distancia horizontal de su centro de gravedad hasta un punto de referencia, más el peso de la vara por la distancia de su c. g. al punto de referencia más el peso de la persona que hace fuerza por distancia de ella al punto de referencia y todo esa suma, dividida entre el peso total de las tres cosas. La distancia tan grande del apoyo a la persona que hace fuerza y tan pequeña hasta el objeto pesado hacen que el centro de gravedad del conjunto se mueva hacia el lado donde está la persona y facilite el giro de la vara y el movimiento del objeto pesado.
Manipulando los centros de gravedad se pueden hacer cosas
que parecen magia, como el gurú que parece levitar.
Entonces, Si un objeto rígido homogéneo muy pesado es
sostenido en un punto desde donde la distancia horizontal de ese punto hasta el
centro de gravedad es cero, se mantendrá en equilibrio
Si le agregaban a una estatua muy pesada un pedestal muy grande movían el centro de gravedad más abajo
Luego le quitaban el apoyo casi debajo del centro de
gravedad, con una excavación y el objeto no caía porque aún el centro de gravedad
tenía apoyo
Después aumentaban el peso para correr el centro de gravedad a donde no hay apoyo, y así
Autor. REDTERRAQUEA, se permite reproducir si se menciona la
fuente
Suscribirse a:
Entradas (Atom)