FUNCIONES DERIVADAS E INTEGRALES.
Recordamos que una función y= f(x) es una relación en la que
a cada valor de “x” le corresponde uno solo de ”y”, y la pendiente es la tasa
de variación de la “y” respecto a la variación de “x”.
La derivada de una función matemática f(x) es otra función
g(x), en la que a cada valor de “x” le corresponde un valor de “y” que es la
pendiente de la función f(x) en ese punto.
Por ejemplo, La función “f(x)=6” es constante para todo valor “x” entonces en todos sus puntos tiene pendiente cero, entonces la función derivada es Y=g(x)=0,
“f(x)=Y=5x”
para todo “x” tiene pendiente=5, porque varía 5 por cada variación unitaria de
“x” entonces la derivada es g(x)= Y=5;
Y=6X2
, veamos,
La pendiente
de una función en un tramo desde x0
hasta x1 es m=∆y/∆x= (y1-y0) /(x1-x0)
o sea lo que varía la “y” dividido entre
lo que varía la “x”
Veamos.
Para x=3 , 
Para x=4, 
La pendiente
entre x= 4 y x=3 es
(96-54)/ (4-3) es igual a 42
Pero la
pendiente en un punto es la variación instantánea ahí o sea lo que varía la Y,
con una variación infinitesimal de x, o sea dy/dx o sea el límite de
[f(x+a)-f(x)]/ [(x+a)-x] cuando “a” tiende a
cero.
Hagamos el
tramo más pequeño y veamos.
La pendiente
entre x=3,5 y x=3 es (6
3,52-6 32)/0,5 =(73,5-54)/0,5=19,5/0,5=39
3,52-6 32)/0,5 =(73,5-54)/0,5=19,5/0,5=39
Entre 3,3 Y
3 es=37,8
Entre x= 3,1
y x=3 es 6 3,12-6 32= (57,66-54)/0,1=3,66/0,1=36,6
3,12-6 32= (57,66-54)/0,1=3,66/0,1=36,6
Entre 3,05 y
3 es 6 3,052-6 32= (55,82-54)/0,05=1,82/0,05=36,4
3,052-6 32= (55,82-54)/0,05=1,82/0,05=36,4
Entre 3,01 y
3 es 6 3,012-6 32= (54,36-54)/0.01=0,36/0,01=36
3,012-6 32= (54,36-54)/0.01=0,36/0,01=36
Entre 3,001
y 3 es 6 3,001-6 32=
(54,036-54)/0,001=36
3,001-6 32=
(54,036-54)/0,001=36
O sea que cuando hacemos variaciones muy
pequeñas de x, la pendiente de la
curva f(x)= 6 2 cercanas a x=3 se va haciendo igual a 36, que es el valor de la derivada g(x)=12 en ese punto.
2 cercanas a x=3 se va haciendo igual a 36, que es el valor de la derivada g(x)=12 en ese punto.
La función
es y=6x2, la derivada es
y=12x.
Ahora
supongamos que queremos calcular el área que hay debajo de una curva de un
gráfico, entonces dividimos el área en barras que son rectángulos de ancho muy
pequeño (∆x) y de altura el valor de f(x) en el rectángulo, el área será aproximadamente la sumatoria de
las áreas de todos los rectángulos entre los valores de x que se quieren calcular.
Cuanto más estrechos sean los rectángulos más exacta será el área.
A= ∆x [f(x0) + f(x1)
+f(x2) + f(x3) + f(x4)………….f(xn)]
Ó
A=∑ f(x)∆x desde x=0 hasta x=n
Cuando ∆x tiende a cero o sea el ancho de los
rectángulos es un infinitesimal “dx” el
área será exacta y se llama integral de la función f(x) desde x=0 hasta x=n
“A=∫f(x) dx”
desde x=0 hasta x=n
Por ejemplo
la función y=f(x)=6, el área de esta función desde x=0 hasta x=8 es 6 8=48
8=48
Para el área
desde x=0 hasta x=4 es 24
Entonces la
integral de y=f(x)=6 es y=f(x)=6x
Verificamos
que f(4)=24 y f(8)=48
Aquí nos
damos cuenta de algo:
La función f(x)=6x,
la derivada es f(x)=6
La integral
de f(x)=6 es f(x)=6x
O sea la
integral y la derivada son la contraria una de la otra.
Si la
derivada de A es B
La integral
de B es A
Para la
función f(x)= 6x2 si calculamos el área de esa curva entre x=3 y x=4
Calcularemos
la integral
6x2dx y esto
nos dará la función f(x)=2x3 evaluada en 4 menos la función evaluada
en 3 o sea 128-54=74
6x2dx y esto
nos dará la función f(x)=2x3 evaluada en 4 menos la función evaluada
en 3 o sea 128-54=74
6x2 es la
derivada de 2x3 y
2x3 es la integral de 6x2
Para x=4 la derivada es
96 y la pendiente de la curva 2x3 en
4 es, veamos, calculamos un ∆y/∆x muy pequeño para esta función: f(4.01)-f(4) dividido entre
0,01 es 128,96-128 dividido entre 0,01 da también 96
SENOS Y
COSENOS:
Imaginemos
un círculo de diámetro igual a 2, si vamos girando una línea que va desde el
centro hasta la circunferencia (la circunferencia es el perímetro del círculo). El triángulo que se va formando al girar la
línea un ángulo con la horizontal que va desde 00 hasta 3600,
este triángulo tiene un lado opuesto al ángulo que es el seno y uno adyacente
que es el coseno y una hipotenusa que es
la línea que vamos girando y que tiene el tamaño del radio que es la mitad del
diámetro.
Entonces,
vemos que para un ángulo de 900 el seno es del tamaño del radio o
sea vale 1 y el coseno vale cero, para
un ángulo cero el seno vale cero y el coseno vale 1.
Si medimos
la longitud de cualquier circunferencia, vemos que siempre mide 3,1416….. veces
el diámetro, de ahí salió el número 
“pi”. O sea que la
circunferencia siempre mide d (
o 
(dos veces el radio)
“pi”. O sea que la
circunferencia siempre mide d ( o (dos veces el radio)
Un ángulo
también se puede medir usando en vez de grados “r y
”
”
Entonces el ángulo que
va de 00 3600 también podemos decir que va de “0” a “2
y se sobreentiende que se
refiere 0 ó 2 veces el radio o
“radianes” entonces 900 equivale a 
, 450 equivale
a 
,1800 equivale
a etc.
y se sobreentiende que se
refiere 0 ó 2 veces el radio o
“radianes” entonces 900 equivale a , 450 equivale
a ,1800 equivale
a etc.
Y esto es válido para
un círculo de cualquier radio, y siempre el seno va a ser el cateto opuesto
sobre la hipotenusa y el coseno el cateto adyacente sobre la hipotenusa. Cuando
el círculo tiene un radio diferente de 1
como el círculo anterior, el seno o sea el cateto opuesto del triángulo que se
va formando también será diferente pero la relación cateto opuesto dividido
entre la hipotenusa o sea el seno siempre valdrá igual para ese ángulo formado,
lo mismo pasa con el coseno.
Podemos ver que la función
coseno f(x)=cos(x) es la derivada de la función seno g(x)=sen(x) y seno es la
integral de coseno.
Autor: Redterraquea 2019.
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